De l’idéologie mathématique

De l’idéologie mathématique

Jean-Jacques Szczeciniarz

La première constatation que l’on doit faire est celle-ci : l’écart existant entre la pratique mathématique réelle et les représentations qui en sont faites s’est creusé, le savoir mathématique s’est épaissi, les liens entre les secteurs, les disciplines diverses qu’il comporte se sont multipliées, les parcours les plus surprenants, les traductions les plus inattendues se sont constituées. Non seulement chaque domaine mathématique réinvestit, pour résoudre ses propres problèmes et même pour les penser, la plupart des autres secteurs — l’analyse, la topologie ou la géométrie différentielle ou complexe réutilisent parfois en les prolongeant, toutes les réflexions et les progrès de l’algèbre linéaire ou commutative —, mais des disciplines se sont aussi créées parce qu’elles ont fait de l’analyse de ces intersections une forme de travail et ont ainsi permis l’ouverture d’un champ ; c’est le cas de la géométrie algébrique et de la topologie différentielle. Bien plus, il existe des formes de mathématisation qui ont pour objet de réfléchir sur certaines pratiques des mathématiques mêmes, sous certaines modalités. Essentiellement parce que l’objectif des mathématiques qui se sont ainsi développées a été d’établir des formes de réflexion sur soi, en traçant de façon critique des territoires et des frontières ainsi que des interdictions sur ces terrains. De plus, dans la mesure même où elles réfléchissaient sur elles-mêmes, elles se sont instituées en « pédagogie ». Au sens le plus élaboré — proche de la discipline de l’intelligence artificielle qui la travaille —, les mathématiques se sont rapprochées d’une théorie de l’apprentissage. Elles s’intéressent en effet, de plus en plus à la manière de considérer les concepts qu’elles mettent en cause et en jeu. Elles examinent les diverses manières dont une opération de base peut se transformer pour s’en faire un concept général (par exemple l’intégration). Elles cherchent à installer des opérations nouvelles au cœur d’une théorie, de sorte que celle-ci puisse les enregistrer pour en faire un usage spécifique et les laisse de la sorte se développer pour elles-mêmes. Si notre siècle est en littérature, celui de la critique et même de la critique comme expérience, il en est de même en mathématique.
C’est pourquoi notre époque mathématique est marquée par les théorèmes de limitation qui, comme les énoncés qui jonchent la métaphysique de la finitude, sont une façon d’établir ou d’instituer les terrains positifs de nos pratiques. Le fait, par exemple, de ne pas pouvoir avec la règle et le compas trissecter un angle quelconque est un résultat positif de la théorie moderne de l’algèbre, qui concentre en des structures algébriques les gestes mathématiques que découpent les usages de la règle et du compas. Le résultat le plus puissant produit par le mathématicien le plus pur que nous ayons pu connaître, Galois, nous explique que les polynômes de degré cinq et plus n’ont pas de solutions — de racines — déterminables au moyen d’opérations par radicaux ; c’est-à-dire que l’on ne peut pas les calculer en effectuant des opérations comme celles que l’on a apprises pour résoudre les équations du second degré, où l’on exprime les racines à l’aide d’un radical, en usant de ce que l‘on nomme un discriminant et en en prenant la racine carrée.
La façon de procéder qu’invente Galois est fondatrice de toute l’algèbre moderne, et même de réflexions purement conceptuelles proposées par la géométrie algébrique. L’algèbre — en l’occurrence la théorie des groupes, qui n’est même pas encore explicitée en son temps — lui sert de mode d’appréhension de l’ensemble des racines, comme d’un unique objet. Il faut considérer les racines avec les opérations que l’on peut faire sur elles, sans les avoir même individualisées : il faut apprendre à les voir sous des formes inattendues, comme groupe des racines que l’on peut substituer les unes aux autres, additionner, soustraire sans que l’on ait encore obtenu explicitement leur forme. C’est cette observation spécifique que l’on en effectue, qui les forge, leur donne une forme, bref permet au sein de la structure algébrique de les individualiser.
Les mathématiques ont donc tendance à devenir théorie d’elles-mêmes, et du même coup théorie de la puissance de pensée, de ce que nous pouvons ou ne pouvons pas faire. Il est de ce point de vue normal que le théorème de Fermat ait pu jouir d’un tel prestige, et que sa résolution — ou quasi-résolution — ait eu un tel retentissement. Modèle d’un énoncé de limitation, perceptible par le profane comme une fantastique prévision de limitation, sa démonstration met en jeu presque toutes les mathématiques de ces vingt dernière années.
Considérons l’idéologie en un sens classique (marxiste) comme l’ensemble des représentations imaginaires que les hommes se font de leurs rapports à leurs conditions d’existence. Les mathématiques font partie de nos conditions d’existence, sont présentes dans nos pratiques à toutes sortes de titre, mais elles sont aussi produites au sein de représentations qui leur sont attachées. Il existe donc une idéologie des mathématiques : la représentation imaginaire que notre société ou même notre culture en donnent. Mais il y a aussi une représentation imaginaire de sa propre pratique pour le mathématicien, une représentation imaginaire de son rapport à ses concepts sous leurs formes les plus variées. Pour le mathématicien, ces dernières représentations sont étroitement liées avec les concepts qu’il travaille, les opérations mêmes qu’il effectue, dans le champ de sa discipline.
Il est difficile de croire que l’idéologie attachée aux mathématiques a quelque rapport avec ce qu’elles sont réellement. Mais il est aussi aventureux de penser que les deux aspects de l’idéologie que j’ai distingués aient quelque relation. Cependant, je tenterai de démontrer que cette idéologie est l’effet de la position des mathématiques dans notre culture, qu’elle ne fait que la répéter et l’amplifier, et qu’en conséquence ces diverses représentations sont étroitement liées entre elles, comme elles sont liées à une certaine réalité de cette discipline.

La peur des mathématiques

Pourquoi les mathématiques sont-elles productrices au plus haut point de grandes angoisses, et corrélativement exercent-elles la fascination la plus extrême chez ceux-là mêmes qu’elles angoissent ? Les pédagogues, les didacticiens relèvent tous ce que nous appelons blocages, largage, ou encore noyades massives. Pourquoi — comme le remarquait Dieudonné, mais d’autres avec lui —, tant de bons esprits, par ailleurs capables des raisonnements les plus rigoureux, dans des domaines les plus divers, sont-ils absolument réfractaires à la moindre proposition mathématisée ? Et sous quelles conditions les mathématiques ou leur représentation peuvent-elles devenir un moyen d’intimidation ?
La réponse tient dans ce fait essentiel : les mathématiques, à leur façon, reprennent tous les grands thèmes et grandes thèses qui structurent ou constituent notre culture, mais sur un mode où ceux-ci ne font plus sens, ne sont plus expressément référés à la réalité qu’ils mentionnent.
Si l’on admet, dans une acception à la fois générale et simplifiante, qu’un énoncé fait sens lorsque je peux le resituer dans une histoire ayant des liens avec ce que je reconnais comme mon histoire, par quoi il me parle et je lui parle, alors un énoncé mathématique ne fait pas sens. Il ne se rapporte pas à des événements ou à des choses de mon univers historique. Mais si l’énoncé mathématique partage — à première vue — cette forme d’atemporalité avec un énoncé de type mythique ou religieux, il ne renvoie pas non plus — encore à première vue — à des personnages qui organisent ma compréhension de l’univers.
Et pourtant cette atemporalité inscrite sous la forme d’un déroulement symbolique, cette exclusion de toute forme de reconnaissance subjective ordinairement, appréhendée dans le reflet de nous-mêmes, organisent une sorte de support et de vecteur pour nos affects. Mieux même, il est facile de percevoir un parallélisme entre l’ordre des mathématiques et les formes philosophiques de réflexion ou même les thèses philosophiques portant sur nos possibilités de connaissance ou même les modalités de celles-ci. Comme si nos méditations pouvaient encore effectuer une variation sur le mode symbolique.
Nous explorons sur le plan géométrique les propriétés de l’espace multidimensionnel, par des méthodes les plus raffinées, en travaillant notamment sur des objets possédant des dimensions variables, et en manipulant des formes de variation que l’on appelle fonctions. Nous explorons ce même espace en essayant de nous représenter des positions de notre corps dans des situations qui mettent en péril son équilibre et sa possible orientation. Combien « n’arrivent pas à voir » ce que d’autres prétendent voir et décrivent même en quatre dimensions ? Il faut produire une intensification de l’expérience de notre posture, mais aussi de notre vision qui doit traverser tous les obstacles de notre espace perceptif. Il nous faut nous efforcer de voir à travers une construction de rapports, il s’agit de faire opérer des concentrés d’opérations qui vont ainsi servir de représentations.
Ce que mettent en question — paradoxalement, puisque les mathématiciens pratiquants sont les premiers à le dénier — les mathématiques, ce sont notre volonté et notre possibilité de nous placer dans la culture et le langage. Cette situation se fait à travers des systèmes d’actes qui se rapportent directement à des gestes corporels. Ainsi de la résolution de problèmes dits « élémentaires ». Nous sommes convoqués par nos capacités, et nous nous mesurons en nous mettant en jeu dans ce qui nous paraît tenir à notre capacité d’expression, pour nous-mêmes et pour les autres. Mais cette description reste superficielle, si elle ne tient pas compte du fait que cette façon de voir une énigme mathématique est rendue possible par la nature de la pensée mathématique.
Pour employer une terminologie à résonance anthropologique, je dirais que la pratique mathématique est une sorte de mimétique de l’acquisition des possibilités, ou mieux des virtualités, du sens. Nous nous situons toujours sur le rebord externe de la signification. Nous contemplons, pourrais-je dire, son dessin. Il ne suffit pas de déclarer que nous nous intéressons au syntaxique. C’est comme tel faux et réducteur, ou alors il faut donner au concept de syntaxe un sens extra linguistique, et même extra logique. Ajoutons qu’il s’agit toujours de pousser plus loin les possibilités de sens, dans ce qui soutient et supporte le sens, et donc le syntaxique comme tel, de chercher le « syntaxique du syntaxique ». Mais il y a dans cette expérience plus encore. Nous restons toujours, corporellement, et dans l’imaginaire qui produit les représentations, liés aux formes explicites, culturelles de signification (esthétiques par exemple, ou même littéraires) sans que nous puissions et désirions même les rappeler sur la scène. A travers cette liaison, c’est notre forme d’insertion dans la culture, donc nos modes de reconnaissance, que nous éprouvons. D’où l’extrême dramatisation, parfois plus que symbolique, qui se manifeste dans un rapport aux mathématiques. D’où aussi cette lutte contre les symboles, mais aussi à travers eux, le jeu de maîtrise et de contrôle qui se manifeste.
J’ajouterais volontiers que nous rejouons sans cesse comme une scène originaire, celle qui a vu la normativité surgir comme une représentation de la forme culturelle elle-même. Ce par quoi elle s’est donnée à voir à elle-même en quoi elle tenait. C’est à cette histoire à la fois mythique et réelle — car produisant des effets réellement éprouvés — que, dans un geste mathématique, nous nous identifions indéfiniment. C’est pourquoi, ensuite, nous pouvons avoir l’impression, certes le plus souvent alors illusoire — et dérisoire pour le profane —, que se joue notre existence symbolique et culturelle. Il reste cependant vrai que nous y réapprenons sans cesse à parler, à lire, à compter, à nous déplacer, transposer des images de nous-mêmes, sans qu’aucune de ces actions ne s’y déroule réellement. Le système des gestes que nous apprenons et réapprenons sans cesse à effectuer, pour les défaire, et les refaire de la façon la plus inattendue, impose le plus souvent des relations de suggestion, d’allusion, que les mathématiques décrivent parfois en les termes de l’érotisme classique de la caresse et de l’effleurement.
C’est aussi la raison pour laquelle nous attachons un prestige aux mathématiques, certains y voient la manifestation d’une forme supérieure d’intelligence. Ils y notent une réussite de reprise de possession de ce par quoi nous existons dans la culture. Nos formes récentes d’éducation ont fait de la réussite mathématique le sommet des performances, et ce n’est pas tant la place réelle des mathématiques dans les univers techniques de notre existence qui est désignée par là, que leur description spectaculaire de performance pure : rapidité, pouvoir de saisir plusieurs modes de structuration à la fois, parcours gigantesque sur des espaces de chemins compliqués.

La performance

Pourquoi cette forme dominante de la figure du mathématicien, qui ne correspond que partiellement à sa réalité ?
Parce qu’il y a, à première vue, dans les mathématiques, un phénomène essentiellement technique. On doit, pour être mathématicien, savoir reproduire une technique de résolution qui met en jeu — apparemment — les formes les plus directement pratiques au sens où elles sont tournées vers un accomplissement réel et une transformation matérielle de l’intelligence. Que cette réalité ne soit pourtant qu’imitée ou feinte donne aux mathématiques leur forme ludique. Ainsi voit-on opposer à ces aspects de l’intelligence des formes, dites plus profondes, qui restent, elles, du domaine de la méditation. Lorsqu’on est dans la technique on ne se situe pas dans la réflexion sur la finalité de cette technique. Il est vrai que les mathématiques ont intégré depuis leur commencement ces aspects de pure technique ou encore de pure instrumentalisation. On connaît les critiques auxquelles cette caractérisation a pu donner lieu. Elles se sont focalisées sur une critique de la technique comme telle qui serait au cœur d’une instrumentalisation de la raison dans la philosophie occidentale.
Pourquoi donc à travers cette représentation technologique les mathématiques se prêtent-elles à la fabrication du mythe de la performance, qui fait écho à ceux des génies mathématiques, dont la puissance de conception n’a d’écho que la précocité ?
Parce que la pratique et la théorie mathématiques supposent que l’on explore ou envisage la possibilité d’actes, de combinaison d’actes, dans le cadre de certaines contraintes qui peuvent aller jusqu’à les définir. Un mathématicien sait faire ce que ses collègues ne savent pas encore faire. Dans les mathématiques, un calcul est toujours à leur sens conceptuel : calculer une aire dans un espace très compliqué à concevoir, installer une distance pour définir une façon de se déplacer sur des objets spatiaux aux singularités non maîtrisées, calculer le nombre d’intersections, le nombre de de recoupements d’une courbe dans un espace multidimensionnel, etc. Dans un calcul donc, mais aussi dans un problème général quelconque, nous sommes en position d’accomplir des performances. Si problème signifie obstacle, les mathématiques instaurent une pratique de la constitution des obstacles. Mieux, elle inscrit dans ses concepts le concept d’obstacle. Ainsi, d’une intégrale par définition incalculable crée-t-on une théorie pour ouvrir un nouveau champ aux mathématiques (intégrales elliptiques par exemple, théorie des résidus, etc. ). Les mathématiques sont de ce point de vue la théorie assumée des obstacles à surmonter et des performances à accomplir. L’obstacle explique et suscite la performance comme la performance exige l’obstacle.
C’est pourquoi la coutume a voulu que l’on pose à l’occasion de concours des questions « officielles ». Les réponses qui y étaient apportées pouvaient mettre en jeu la réputation et la carrière des participants. Ainsi de Pascal proposant aux mathématiciens de son temps de calculer l’aire de la surface délimitée par la cycloïde. Ainsi encore des joutes célèbres à l’image de celles qui opposèrent Cardan (ou plutôt son élève, dit-on), à Tartaglia.
Quelle est la nature de l’écart entre ces performances et celles, véhiculées par notre idéologie, qui constituent la norme sociale et symbolique de la réussite scolaire ? Si la dernière prend et si elle est bien la forme reconnue de la reconnaissance dans nos processus d’éducation, c’est parce que nous y rencontrons la figure de la normativité sous la forme des manipulations symboliques, et ce dans tous les cas, même si les niveaux et les élaborations de celles-ci sont fort différents. D’Einstein à l’amibe, il existe un écart culturel. Mais il reste vrai que dans la manipulation symbolique mathématique et ce qu’elle implique, c’est toujours la forme de l’hominisation sous l’espèce des insertions culturelles qui se joue. C’est pourquoi elles peuvent constituer un support pour tous nos investissements d’affects. Quant à l’écart entre Grothendieck et un élève de terminale, il tient à la puissance de redoublement de ce jeu sur les formes de possibilité du sens ou — ce que je considère comme synonyme — sur les modalités de reconnaissance de soi. Ce qui les sépare n’est pas tant l’épaisseur d’une culture ou d’une histoire qu’une grandeur intensive, que la faculté d’intensifier les obstacles pour accomplir une existence symbolique vécue comme réelle. L’intensification prend forme précisément en ce qu’elle parvient à remettre — en le réactualisant si étrangement — en phase le réel et le symbolique en rejouant cette mise en rapport elle-même.
Que cette faculté d’intensification soit liée à une culture n’est pas contestable. Mais il s’agit là d’une histoire singulière. C’est cette singularité qui induit la possibilité d’un affrontement.

Rites

Ces rapports singuliers conservent la marque de la ritualisation religieuse dans laquelle ils sont nés. Les mathématiques se sont d’abord développées comme un savoir ésotérique, conservé par des prêtres qui veillaient à leur propriété et à leur pouvoir comme à leur rapport privilégié avec les dieux. Les commentateurs d’Euclide ont tous noté que les mathématiques sont pour lui une forme de purification de l’âme, dont témoignent les encouragements et les prescriptions impératives que l’on trouve à l’entrée de chaque problème à résoudre.
Ces rituels religieux marquent la reconnaissance que nous éprouvons à l’égard de ceux qui nous ont permis une entrée dans le royaume de la pensée. C’est la réussite de l’échange à quoi nous avons consenti en renonçant à l’existence sensible pour entrer dans celle de la pensée. Les procédures de reconnaissance des travaux mathématiques conservent la marque de cette liaison à la religion, et non comme une forme sociale externe, mais comme un élément de ce qui les constitue.
De là la nécessité pour les concepts mathématiques de se constituer sur la base de formes philosophiques et théologiques ; je ne prends pour exemple que la théorie de l’intégration, renouvelée au XVIIe siècle sur la base d’une théorie de la création dont nous n’avons pas encore fini de prendre aujourd’hui la mesure. De Leibniz à Spinoza, c’est par une théorie de la composition des grandeurs et de leur intégration possible en une grandeur discernable que la constitution du concept de substance se réalise. La théorie de la substance devient une théorie de l’addition et de la composition de tout ce qui est, comme une catégorie de l’intégration. Leibniz se pose la question de la composition des grandeurs et de ce qui, selon lui, les oriente et donc en fait partie : leur direction. Pour répondre à cette question, il esquisse de façon explicite la théorie du calcul vectoriel. Mais c’est en pensant un certain type d’être qu’il se représente une orientation spatiale, un être qui comporte en lui l’orientation, forme ancienne de la liberté cartésienne. On ne peut séparer la théorie des ensembles infinis, telle que l’élabore Cantor, des formes théologiques de création à travers lesquelles il se représente les différentes sortes d’infinis qu’il produit, par l’élaboration d’un nouveau concept de grandeur. Pas plus qu’il ne faut séparer cette théorie d’un concept plus général d’intégration dont est née la théorie des ensembles, et dont elle garde la trace.
Quand je fais ces affirmations, qui peuvent être longuement instanciées dans un parcours du XVIIe siècle, et du XIXe sur d’autres bases, je développe la thèse du parallélisme énoncée plus haut. Pour résumer, les mathématiques reproduisent les autres formes de pensée. Elles disent un rapport radical à la pensée et elles les réorganisent dans un champ qui en permet une expérience dans un autre langage. Que ce langage soit celui du formalisme, certes. Mais il est avant tout langage de la saisie sans objet, de la finalité sans fin, de ce qui fait la forme du concept. Les mathématiques sont l’institutionnalisation de cette expérience.

Quelques aspects de l’idéologie mathématique

A partir de ces quelques remarques, je puis me livrer à l’analyse de ce qui est propre à l’idéologie mathématisante.
On croit volontiers que le formalisme mathématique est une garantie de justesse ou même de vérité d’une théorie. Hypostase d’un moment de la formation conceptuelle, mais essentiellement redondance, les mathématiques tournent alors à vide. L’illusion formalisatrice a caractérisé le dogmatisme précritique, qui a voulu déduire l’existence d’une essence mathématique. Mais cette illusion s’enracine de façon inévitable dans la nature de la connaissance mathématique et dans la forme d’autorité qu’elle présente. Je la caractériserais, comme le fait Cavaillès à propos du logicisme, essentiellement par son refus de l’histoire, dans la mesure où elle prétend fournir, à l’avance, les formes et les contenus de ma connaissance. Mais c’est la nature anhistorique de la démonstrativité et de la formation conceptuelle mathématique qu’elle laisse déborder de son propre cadre. Cette illusion joue à l’intérieur des mathématiques, comme image déformée de ce qu’elles sont, produite à l’intérieur d’elles-mêmes. Elle se traduit par une conception étroitement formelle, qui constitue ainsi ce que Bachelard appelait un obstacle épistémologique comme contre-pensée à l’intérieur de la pensée.
Son corrélat est la croyance en la réalité de l’intrinsèque ou plutôt en un concept formel de l’intrinsèque en mathématique. Si elles sont comme une monade sans porte ni fenêtre, elles expriment à leur façon le reste de la culture. La recherche de l’intrinsèque est un concept-clé de la production mathématique, comme développement d’une idée de l’idée, mais cela ne signifie en rien, au contraire, qu’elles sont coupées du monde. Les mathématiques, dans leur développement intérieur, sont sans cesse aussi en train de comprendre la structure du monde physique, au point que la construction de leur concept peut aussi être un indice de réalité, comme c’est le cas par exemple dans la physique des particules. Inversement, c’est en introduisant une façon mécanique et physique de raisonner sur les nombres de l’arithmétique que Pascal a formulé le raisonnement par récurrence. C’est en introduisant une forme de dynamique que le calcul différentiel de Leibniz et de Newton, avec leur différence de stratégie, a pu se développer.
L’illusion formalisatrice peut prendre des aspects bien plus séduisants, si on la rapporte à la représentation des résultats les plus spectaculaires fournis par le mystère des nombres, comme en fourmillent nombre d’ouvrages mathématiques. Mais le monde a été écrit, comme l’ont expliqué les Pythagoriciens, à l’aide du langage des nombres. Il est même vrai tout est nombre, si l’on voit dans le nombre cette puissance de rassemblement, la forme même quantifiée du concept. Kant en a fait le schème de la quantité, c’est-à-dire ce par quoi la quantité vient à l’espace et au temps. On peut alors comprendre en quoi le nombre, même s’il a encore, chez lui, une forme trop psychologisée, permet de donner prise à tout concept. Pour pouvoir seulement parler et pour que le sens advienne, il faut d’abord que soit constituée une homogénéité, que seule la quantité exprime. Cette quantité peut à son tour revêtir toute sorte d’aspects, (extension, intensité, dynamique, mesures, dimension, etc.). C’est encore parce qu’elle est victime de l’enthousiasme — comme l’explique Kant — que notre connaissance réalise, à tort, un aspect provisoire du nombre et qu’elle transfère sa puissance, certes prodigieuse, à une entité divine, ou qu’elle les interprète comme un instrument magique d’action directe sur le monde. La formalisation prend toujours la figure de cette transformation : autonomiser les opérations que permettent les nombres, et les propriétés surprenantes de ceux-ci, et en faire un moyen d’action dont la causalité effective a disparu. La formalisation débouche ainsi, quand elle dévie de sa finalité interne et initiale, sur un rapport magique au concept.

L’illusion de la paix civile

C’est un des pouvoirs majeurs que l’on a toujours prêtés aux mathématiques, lié à la précédente illusion. Les mathématiques constituent le lieu où cessent tous les désaccords : si vous voulez mettre fin à une discussion, asseyez-vous et calculez, nous expliquent Leibniz ou Hobbes. Et Spinoza nous dit que dans les mathématiques cessent les conflits, que les passions tristes sont remplacées par une puissance collective de comprendre, qui, étant la même chez tous, se trouve renforcée. En même temps, pourtant, la pratique des mathématiques est le lieu d’affrontements mémorables, où les haines se sont enracinées, durables, de dynastie en dynastie, où les luttes titanesques se sont poursuivies jusque dans l’autre monde. Les questions comme celles de l’existence du point ont donné lieu à des pugilats à l’Académie des sciences dès le XVIIe siècle. Qui ignore les inimitiés de Cauchy, celles de Fermat et Descartes, ou même les incompréhensions de Descartes à l’égard de Desargues, sans parler des oppositions majeures de nos grands contemporains ?
Il ne s’agit pas là de simples oppositions que la rivalité ou la jalousie suffisent à expliquer. La guerre de priorités entre Leibniz et Newton n’est pas simplement l’effet d’une volonté de gloire et d’un désir de reconnaissance pour une performance accomplie. On peut y voir comme Granger des oppositions de style, et donc de conception des mathématiques, sous leurs aspects tant théoriques que pratiques. Mais il s’agit, plus encore, de luttes pour assurer la primauté d’une expérience symbolique unique. La maîtrise y est essentielle. On fait plus qu’imposer une façon de voir. On affirme que notre vision des conditions du sens est la bonne, et donc que toute autre se perd dans l’insignifiance de l’errance. Pour simplifier, les enjeux sont d’autant plus importants qu’ils sont de nature anthropologique.
Alors pourquoi, malgré tout, les mathématiques conservent-elles, croit-on, cette fascinante puissance pacificatrice ? Non pas, parce que « quand on fait cela on ne fait pas autre chose », mais parce que les enjeux de nature anthropologique prennent toujours la forme symbolique de l’universalité. C’est l’humanité entière qui doit se reconnaître dans ce résultat. La forme du résultat, même si celui-ci est résultat d’un devenir singulier, est une forme qui, dans sa donnée même, dans son existence perçue empiriquement, vaut pour tous. Elle vise un « tout collectif » en soi. Cette autonomie que l’on peut nommer objectivité, n’existe formellement que sur la base de la négation de tous les particuliers. Son contenu est l’universel, comme dirait Hegel. C’est encore l’un des sens du concept d’intrinsèque que vise le plus souvent le mathématicien. Un nombre complexe ne possède aucune existence pour quelqu’un de particulier. Le fait qu’il soit par exemple une manière de donner une signification à la racine carrée d’un nombre négatif n’est en rien une invention particulière rivée à sa particularité empirique. Je peux refuser comme absurde une telle idée (il existe une histoire passionnante de ces refus), mais l’idée même est conçue comme valant en soi et pour tous. C’est une expérience pour tous, celle qui consiste à aller voir de l’autre côté du zéro, dans une sorte d’épaisseur de l’espace. On introduit par là une sorte de dimension interne, de densification de l’espace, que le concept et le terme d’imaginaire, au bout du compte, rendent bien.
Les affrontements radicaux ont donc comme enjeu des concepts universels. Et ces enjeux sont d’autant plus grands qu’ils ont pour objets une hégémonie absolue. Mais pourquoi l’imposition de ces concepts a-t-elle été vue comme ce pouvoir social pacifiant ?
Un théorème, une fois démontré, ne souffre plus aucune contestation. La forme de son exposition, mais aussi la nature de son contenu, l’imposent irrévocablement. D’une part, en raison de sa genèse : il réexprime l’état des mathématiques qui l’ont précédé, il en est l’émanation, même si l’on en tire une profonde remise en question de celle-ci. On ne peut lui refuser sa légitimité sans contester tout le savoir mathématique existant. C’est ce lien réécrit avec le champ mathématique qui en fait l’objectivité. D’autre part, son contenu porte sur un réexamen du savoir mathématique sur lui-même et, de ce fait, sur un approfondissement de ce dernier. L’extension procède par approfondissements, exactement comme le décrit la dialectique de Hegel. Pour cette raison, il ne peut que susciter et réaliser une adhésion unanime.
Et surtout — les deux raisons citées plus haut n’en sont qu’une conséquence — parce qu’il porte sur l’universel des conditions d’accession et de constitution de la signification. Cet universel n’est pas une idée ou une image destinée à cimenter des formes de reconnaissance, comme l’a voulu l’idéologie juridique qu’il a organisée. Il s’agit d’un universel radical, d’autant plus qu’il correspond à des expériences du corps propre. Le fait qu’il existe des formes culturellement distinctes de mathématiques ne contredit pas cette affirmation. Celles-ci présentent à leur façon des formes de cette expérience radicale. Elles pourraient, elles aussi, donner lieu à des affrontements radicaux si elles n’étaient pas le plus souvent ignorées.
Quand cet universel, qui est explicite comme exigence et dans sa signification est légitimé par le champ mathématique existant, il ne souffre plus aucune contestation ; son autorité est maximale parce qu’il est adossé à toute l’histoire passée et à une structure constitutive de notre existence comme être pensant.
L’idéologie qui surgit des mathématiques et celle qui fleurit à propos des mathématiques se font écho. Elles ne font que réexprimer, dans des situations qui la différencient, une expérience ou une perception de production conceptuelle. Elles restent toujours expériences des conditions des formes de pensée. Toutes les images, clichés, qui se conjuguent avec les idéologies qui accompagnent et rendent possible le développement du marché, nous éloignent de plus en plus de cette expérience et de sa vérité. Mais il a fallu qu’elles prennent forme et substance dans ces représentations au travers desquelles nous nous éprouvons nous-mêmes.